Geometría Euclidiana.

 

Universidad Mariano Gálvez

Ingeniería Civil

Inge: Johana Lourdes

Curso: Geometría Plana y del Espacio

Nombre: Yefri Benjamín López Rios

Carnet:3310-21-3481

Geometría Euclidiana

Se llama  al estudio geometría de las magnitudes y las características de las figuras que se encuentran en el espacio o en un plano. Euclidiano, por su parte, es aquello vinculado a Euclides, un matemático que vivió en la Antigua Grecia. Y no solo eso sino también que esa ilustre figura se convirtió en profesor de importantes discípulos como fueron Apolonio de Parga o Arquímedes, entre otros muchos.

Euclides señala que una línea recta puede crearse a partir de la unión de dos puntos cualesquiera; que un segmento de una recta se puede extender de manera indefinida en una línea recta; que, dado un segmento de recta, se puede dibujar una circunferencia con cualquier distancia y centro; que todos los ángulos rectos resultan idénticos entre sí; y que, si una recta corta a otras dos y la suma de los ángulos interiores del mismo lado resulta menor que dos ángulos rectos, las otras dos rectas al extenderlas se cortarán por el lado en el que se ubican los ángulos menores que los rectos.

Al trabajar con espacios euclídeos, la geometría euclidiana se encarga de espacios vectoriales completos que disponen de un producto interno y, por lo tanto, son espacios métricos y vectoriales normados. Los espacios de las geometrías no euclidianas, en cambio, son espacios curvos o con características diferentes a las mencionadas en las proposiciones de Euclides.

Los postulados 

Los postulados de Euclides hacen referencia al tratado denominado Los elementos, escrito por Euclides hacia el año 300 a. C., exponiendo los conocimientos geométricos de la Grecia clásica deduciéndolos a partir de cinco postulados, considerados los más evidentes y sencillos.​

Los postulados de Los Elementos son:

Se puede trazar una recta desde un punto a otro cualquiera.

2. Es posible extender un segmento de recta continuamente a una recta.

3. Es posible describir un círculo con cualquier centro y cualquier radio.

4. Que todos los ángulos rectos son iguales.

5. Que si una línea recta corta a otras dos rectas formando con ellas ángulos interiores del mismo lado menores que dos ángulos rectos, las dos líneas rectas, prolongadas indefinidamente, se cortan del lado por el cual los ángulos son menores que dos ángulos rectos.

Ejemplos

A continuación, algunos teoremas de los Elementos servirán para mostrar propiedades de espacios geométricos donde se cumplen los cinco postulados de Euclides; además, ilustrarán los razonamientos lógicos-deductivos de los que se valió este matemático.

Primer ejemplo

Proposición 

Si dos triángulos tienen dos lados y el ángulo entre estos iguales, entonces los otros lados y los otros ángulos son iguales.

Demostración

Sean ABC y A’B’C’ dos triángulos con AB=A’B’, AC=A’C’ y los ángulos BAC y B’A’C’ iguales. Desplacemos al triangulo A’B’C’ de modo que A’B’ coincida con AB y que el ángulo B’A’C’ coincida con el ángulo BAC.

Entonces, la línea A’C’ coincide con la línea AC, de modo que C’ coincide con C. Luego, por el postulado 1, la línea BC debe coincidir con la línea B’C’. Por lo tanto los dos triángulos coinciden y, en consecuencia, sus ángulos y sus lados son iguales.

Segundo ejemplo

Proposición 

Si un triángulo tiene dos lados iguales, entonces los ángulos opuestos a esos lados son iguales.

Demostración

Supongamos que el triángulo ABC tiene lados AB y AC iguales.

Entonces, los triángulos ABD y ACD tienen dos lados iguales y los ángulos entre estos son iguales. Así, por la proposición 1.4, los ángulos ABD y ACD son iguales.

Tercer ejemplo

Se puede construir una recta paralela a una recta dada por un punto dado.

Construcción

Dada una recta L y un punto P, se traza una recta M que pase por P y corte a L. Luego se traza por P una recta N que corte a L. Ahora, se traza por P una recta N que corte a M, formando un ángulo igual al que L forma con M.

Afirmación

N es paralela a L.

Demostración

Supongamos que L y N no son paralelas y se cortan en un punto A. Sea B un punto en L más allá de A. Consideremos la recta O que pasa por B y P. Entonces, O corta a M formando ángulos que suman menos que dos rectos.

Luego, por 1.5 la recta O debe cortar a la recta L del otro lado de M, así que L y O se cruzan en dos puntos, lo que contradice al postulado 1. Por lo tanto, L y N deben ser paralelas.